Une résolution du Problème de la salle de bain en Grande section

Classe de Grande Section – Ecole de la Plaine – Laurence Mossuz

Voici notre salle de bain avec un lavabo, placé sur une des cases.

Tu peux le mettre où tu veux.

On souhaite carreler notre salle de bain avec des dominos.

Est-ce possible ?


Vendredi 28 mai

Je propose aux élèves d’utiliser le carrelage de la classe pour appréhender la situation. Les élèves observent debout, ce qui facilite le repérage et la vision perceptive.

  1. Première situation

Un élève propose de placer le lavabo au milieu (centre) de la salle de bain.

Un élève vient délimiter la place d’un domino en hachurant la zone au sol.

Il obtient ce pavage. A ce niveau, les élèves concluent que c’est possible de carreler car ils ont réussi à placer 4 dominos qui recouvrent tout le sol de la salle de bain.

 

La feuille représente le lavabo, placé au centre de la salle de bain
  1. Deuxième situation

Les élèves proposent de placer le lavabo en bas à droite.

Après avoir installé le lavabo, un élève vient délimiter la place d’un domino en hachurant la zone au sol. A ce niveau les élèves concluent que c’est possible de carreler car il reste 4 carreaux sur lesquels on peut placer deux dominos (zone délimitée en rouge), soit dans le sens vertical (flèches blanches), soit dans le sens horizontal (flèches oranges).

La feuille représente le lavabo, placé en bas à droite de la salle de bain.

Deux élèves remarquent que c’est possible aussi pour les 3 autres coins de la salle de bains.

Je leur demande d’expliciter. Ils répondent : « c’est pareil ».

Ces deux élèves ont trouvé que les 3 autres coins du carré, comme emplacement du lavabo, peuvent être obtenus en faisant tourner le carré. Mais ils ne parviennent pas à le formuler car ils ne peuvent manipuler, c’est-à-dire faire tourner le sol. Leur observation résulte d’une bonne perception de la situation. Cependant, certains autres élèves semblent comprendre leur observation car lorsque l’on utilisera des grilles papier, certains élèves penseront à faire tourner la grille.

D’ailleurs un élève ajoute : « lorsque le lavabo est au milieu si on fait tourner, il reste au milieu. Ça ne change pas. »

3. Troisième situation

Un élève propose de placer le lavabo au milieu d’un côté de la salle de bain.

Après avoir installé le lavabo, un élève vient délimiter la place d’un domino en hachurant la zone au sol. Les élèves se rendent compte que c’est plus difficile de carreler la salle de bain avec des dominos.

Ils essaient différentes manières de carreler mais c’est difficile de tout tester car il faut s’organiser.  Alors je leur propose d’utiliser du papier pour couvrir la zone au sol occupée par le domino.

A ce niveau, les élèves concluent qu’ils ne peuvent pas carreler la salle de bain car

« il y a deux carreaux dans la solitude. »

La feuille représente le lavabo, placé au milieu à droite de la salle de bain.

Ils placent le domino papier au même endroit et essaient une autre manière de carreler :

A ce niveau, les élèves concluent de même qu’ils ne peuvent pas carreler la salle de bain car « il y a deux carreaux dans la solitude. » Pour eux, ce n’est pas possible.

Or, l’objectif est de les amener à « prouver » que ce n’est pas possible car “on n’arrive pas à carreler ” cela ne signifie pas que ce n’est pas possible.


Vendredi 4 juin

Je relance les élèves sur le problème de la salle de bain.

Nous récapitulons la dernière séance et là où ils s’étaient arrêtés.

Je modifie le matériel : je leur propose des petites grilles et des gommettes pour localiser le lavabo et des crayons de couleurs pour localiser les dominos. Ils utilisent une couleur différente pour chaque domino posé.

Les  élèves travaillent seuls ou à deux pendant environ 20 minutes.

Puis nous réalisons la mise en commun.

Je demande tout d’abord aux élèves d’accrocher leurs solutions pour lesquelles ils ont réussi à carreler la salle de bain.

MISE EN COMMUN :

  1. Voici leurs solutions pour le lavabo, placé aux 4 coins de la salle de bain 

Les élèves ont classé leurs solutions en fonction de la position du lavabo ⇒ 4 familles.

Ils constatent que pour les 4 positions du lavabo, le carrelage avec des dominos est possible.

Un élève revient sur le fait que l’on peut faire tourner la grille pour obtenir toutes les positions de lavabo dans les 4 coins de la salle de bain (cercle rouge).

Il dit : «c’est possible pour une position du lavabo, alors c’est possible pour les 3 autres positions».

SAUF, deux élèves qui présentent une solution qui ne semble pas possible (cercle orange) car il y a deux carreaux dans la solitude.

Or, les autres élèves ne sont pas d’accord. Ils disent : « si c’est possible, nous on a réussi à carreler avec les dominos sans carreaux dans la solitude ! »

C’est un très bon point d’entrée pour expliquer aux élèves que ce n’est pas parce qu’on n’y arrive pas que ce n’est pas possible (voir plus loin).

  1. Voici leurs solutions pour le lavabo, placé au milieu de la salle de bain :

 

Les élèves ont organisé leur carrelage de manières différentes

Voici leurs solutions pour le lavabo, placé au milieu des côtés de la salle de  bain  

les carrés bleus représentent ceux dans ” la solitude “

Les élèves ont classé leurs solutions en fonction de la position du lavabo ⇒ 4 familles.

Ils concluent que pour les 4 positions du lavabo, le carrelage avec des dominos n’est pas possible car ils obtiennent toujours deux carreaux dans la solitude.

Je leur demande ” comment pourrait-on prouver que ce n’est pas possible, car en mathématiques, ce n’est pas parce qu’on n’y arrive pas qu’il n’y a pas de solution “. Pas simple de répondre à cette question pour des élèves de maternelle ou d’élémentaire…


Jeudi 10 juin (matin) – Comment prouver que ce n’est pas possible ?

  1. En mathématiques quand on n’y arrive pas, cela ne signifie pas forcément que ce n’est pas possible

Nous revenons sur la solution présentée par Apoline et Soline :

 

Elles expliquent : « comme il n’ y avait que des solutions possibles pour cette position de lavabo, nous on a voulu faire une solution qui n’était pas possible. »

J’essaie d’amener les élèves à réaliser que c’est un très bel exemple pour comprendre qu’en mathématiques, ce n’est pas parce qu’on n’y arrive pas que ce n’est pas possible. »

Mais ce n’est pas facile pour les élèves de cet âge…néanmoins, c’est un début de l’apprentissage de la preuve en mathématiques.

  1. Comment prouver que ce n’est pas possible  ?

Nous reprenons les solutions des élèves pour lesquelles qui montrent que le carrelage n’est apparemment pas possible (deux carreaux dans la solitude) pour ces positions de lavabo :

Les gommettes représentent le lavabo.

Je leur demande d’essayer de vérifier s’il n’existerait pas d’autres façons de carreler la salle de bain sans carreau dans la solitude.

Les élèves reprennent leur recherche pour une position de lavabo, celle au milieu du côté gauche. Voici leurs propositions :

Les élèves ont classé leurs solutions en fonction de l’organisation de leur carrelage (ou des carreaux dans la solitude) :

Les carreaux bleus représentent les carreaux dans la solitude

Les élèves ont trouvé toutes les façons de carreler la salle de bain avec des dominos, pour cette position de lavabo, et, ils constatent tous qu’il reste toujours deux carreaux dans la solitude.

Ils ont réussi à prouver collectivement que le carrelage n’est pas possible pour cette position de lavabo.

Conclusion des élèves :

Pour cette position de lavabo il n’est pas possible de carreler la salle de bain avec des dominos.


Jeudi 10 juin l’après-midi – la méthode par forçage

Nous finalisons le problème avec une tentative de présenter aux élèves la méthode par forçage.

Pour trouver leurs solutions, la plupart des élèves a organisé ses dominos au hasard, sans vraiment réfléchir où il faudrait poser le domino.

Je leur demande alors s’il n’est pas possible de poser les dominos non plus au hasard mais en « réfléchissant un peu plus ».

Nous réfléchissons donc tous ensemble comment carreler la salle de bain pour cette position de lavabo. Voici les différentes étapes :

 

On place le lavabo

Étape 1 : Un élève propose de placer le premier domino ici.

Il explique « on n’a pas le choix, car sinon il y aura forcément un carreau dans la solitude à côté du lavabo. »

Étape 2 : Une élève propose alors de placer le second domino là.

L’élève évoque les mêmes raisons : « on n’a pas le choix, car sinon il y aura forcément un carreau dans la solitude à côté du lavabo. »

Etape 3 : pour le troisième domino, les élèves proposent plusieurs solutions : placement dans le sens vertical, zones jaune ou verte.

Mais un élève dit : « on est obligé de le mettre là (domino rouge), sinon on aura un carreau dans la solitude à côté du lavabo.

Les élèves concluent: « on aura toujours deux carreaux dans la solitude. Donc on ne peut pas carreler la salle de bain avec des dominos pour cette position de lavabo. »

Ils ne se rendent pas compte, mais ils approchent la méthode par forçage, qui permet de prouver qu’on ne peut pas carreler la salle de bain pour cette position de lavabo.

Je pose une dernière question : « et que conclure pour les autre positions de lavabo qui ne semblaient pas possibles ? »

Une élève explique : « en faisant tourner la feuille on peut avoir toutes les autres positions. Donc ça ne sera pas possible non plus ! »


 

Le site du LéA

 


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