Une résolution du problème des diagonales en cm1-cm2

Comment trouver le nombre de diagonales d’un polygones en fonction du nombre de ses côtés ?

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Classe de CM1-CM2 – Ecole du Parmelan – Caroline Zavarise

Dans cette classe de CM1 CM2, sur 21 élèves, seuls 4 d’entre eux ont déjà travaillé sur ce type de problèmes en lien avec l’IREM.

Je constate, à ce stade de l’année, qu’il est encore difficile pour une moitié de la classe de faire des essais, d’organiser une recherche voire de s’impliquer dans ce type d’exercice. Ces élèves « se reposent » beaucoup sur l’autre moitié de la classe qui, elle, comprend des élèves « chercheurs ».

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Depuis septembre, voici les problèmes abordés et les apprentissages associés :

– les tours : savoir qu’un problème peut avoir plusieurs solutions / qu’il faut organiser sa recherche pour trouver toutes les solutions
– les billets : prouver qu’on a toutes les solutions
– la somme des chiffres d’un nombre : savoir organiser la recherche, prouver qu’on a toutes les solutions, début de recherche d’une généralité
– le nombre-cible  : réinvestissement de tout le travail fait précédemment

4 séances ont été nécessaires.

Objectifs du problème   :

– émettre des hypothèses pour trouver une généralité.
– prouver qu’une généralité est fausse en trouvant des contre-exemples.
– prouver qu’une généralité est vraie en donnant des arguments pour convaincre.

 

Séance 1   :

– Compréhension du problème
– Recherches individuelles (réinvestissement sur l’organisation de la recherche)
– Recherches en groupes

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  Séance 2 :

– En groupe-classe : “où en sommes-nous dans la recherche ?”

Constats issus de la recherche lors de la séance précédente (polygones à 3, 4, 5, 6… côtés)
«Maintenant, comment puis-je connaître le nombre de diagonales d’un polygone à 26
côtés ?»
– Recherches individuelles
– Recherches en groupe : arriver à trouver une ou plusieurs hypothèses.
– Mise en commun : les différentes hypothèses sont relevées et expliquées par certains élèves.

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Séance 3

– Fiche de préparation au débat : si je pense qu’une hypothèse est fausse, je le prouve
(contre-exemples)

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Séance 4

Débat : les élèves votent pour chaque hypothèse.

Avant de voter, chaque partie argumente à l’aide d’exemples ou de contre-exemples.

Une élève a trouvé la bonne solution, a expliqué pourquoi MAIS le travail sur la preuve
qu’une hypothèse est vraie reste en suspens.

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Séance 5 (Bonus)

– Expliquer le travail effectué en classe sur le problème des diagonales pour le présenter à une autre classe. Travail en groupe sur différents thèmes (explication du problème, organisation de la recherche, le débat, la validation des hypothèses…)

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Paroles d’élèves :

Concernant la bonne solution : «Je suis sûre que cette solution est fausse, je vais
chercher des contre-exemples pour le prouver»

Première séance, après l’explicitation du problème : «Bon, il ne nous reste plus qu’à
chercher et faire des essais»

Lors de la recherche individuelle : «En fait, là, on fait le travail des scientifiques»

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