Une résolution du problème de la grille en GS

On veut placer des jetons sur les nœuds du quadrillage.

On aimerait placer le plus de jetons possible mais sans que 3 jetons soient alignés.

A toi de jouer !


Ecole de la Plaine – Annecy – Grande Section –  Laurence Mossuz

Question 1 : comment représenter un alignement de 3 points ?

Un élève propose de placer 3 élèves sur le carrelage de la classe de manière à ce qu’ils soient alignés.

Il dit : «on les place en diagonale.»
Mais comme les élèves prennent beaucoup de place, nous remplaçons les élèves par des jetons. Les élèves les placent sur les nœuds du carrelage.
Puis je demande : «comment peut-on savoir si les jetons sont alignés ou pas
Une élève propose d’utiliser ses bras, un autre, les règles :

Le fait de choisir 3 jetons selon une diagonale du carrelage est rare, car la plupart du temps les élèves choisissent habituellement
des alignements horizontal ou vertical.

Certains élèves concluent que les 3 jetons sont alignés, mais la plupart des élèves n’est pas convaincue :

«les règles ne passent pas exactement par les nœuds, donc les jetons ne sont pas alignés.»

Ils ont raison. Cela vient de l’épaisseur de la règle et de la précision de manipulation des élèves.

Un élève dit : «il faudrait qu’il y ait un trait, un grand trait à la taille de la règle
Une autre élève dit : «les 3 points ne sont pas alignés car il n’y a pas de trait.”
Une autre élève propose de «coller les jetons». Elle dit : «si on les met à côté alors ils seront alignés

Pour les élèves, lorsque les points ne sont pas proches, cela signifie souvent que les points ne sont pas alignés car c’est difficile de le vérifier.


D’où l’envie de les rapprocher.


Mais, on ne peut pas déplacer les jetons.

Une autre élève dit : «il faudrait tracer un trait.»

Cette élève ajoute : «il y a des jetons qui ne sont pas tout à fait sur le trait car c’est difficile de tracer un trait car les règles bougent.»
Elle a raison : le fait que le trait ne passe pas exactement sur les nœuds provient de la grosseur des jetons et des erreurs de manipulation des règles dans le tracé.
Un élève propose de tracer le trait avant et de replacer le jeton sur les nœuds du quadrillage. Bonne idée, mais j’aimerais qu’ils trouvent un autre outil pour vérifier que les 3 jetons sont alignés.
Un élève propose d’utiliser des livres car ils seront plus «faciles à placer», d’après lui.

Les élèves sont encore partagés sur le fait que les jetons sont alignés :


«Ils sont alignés car ils sont le long des bords des livres.»


«Ils ne sont pas alignés car les livres ne passent pas par les jetons

Un élève a une autre idée, il propose d’utiliser des feuilles de papier car

«elles sont plus fines que la règle et le bord est parfaitement droit.»

Les élèves semblent mieux voir l’alignement des 3 jetons.

Je leur explique que cette méthode permet de vérifier plus précisément l’alignement mais ce n’est guère pratique d’utiliser à chaque fois des feuilles sur la grille.

Alors deux élèves proposent d’utiliser le corps :

 

Un élève dit : «mais il n’est pas droit notre corps.»

Les élèves sont très investis dans leur recherche… mais ils commencent à ne plus avoir d’idées.

Alors je leur donne un indice sur l’objet que nous pourrions utiliser.


Un élève trouve : «la pelote de laine !»

Les élève disposent le fil de laine du premier au troisième jeton.

Ils concluent : «les 3 jetons sont sur le fil donc les jetons sont alignés.»

Certains pensent que les jetons ne sont pas sur le fil car ils sont plus
gros.


Conclusion :

Les élèves ont trouvé 3 moyens de vérifier l’alignement de 3 points sur la grille :
– la règle
– la feuille de papier
– le fil de laine


Je leur présente la grille que nous allons utiliser pour résoudre l’énigme :

 

Les élèves comparent la grille à l’échiquier qu’ils avaient fabriqué. Ils recherchent les points communs.

Voici leurs réponses :
«les couleurs sont différentes : il y a du noir sur l’échiquier mais pas sur le quadrillage.»
«Les cases ont la même forme, elles sont carrées.»
«Les cases du quadrillage sont plus grandes.»

Ils ne pensent pas à comparer le nombre de cases.

Les élèves comparent la grille à l’échiquier qu’ils avaient pourtant, si j’évoque le nombre de cases, ils concluent rapidement que l’échiquier a plus de cases : ils estiment de manière globale les deux quantités.

Donc, ce n’est pas la peine de les compter !

Puis je demande à une élève de venir placer 3 points alignés sur les nœuds de la grille :

Je recueille les avis des élèves.

Une élève de moyenne section dit : «les points ne sont pas sur les nœuds.»

Elle corrige et place les points comme ceci :


Séance 2

Je propose aux élèves de chercher l’énigme du quadrillage.
Je rappelle l’énoncé : placer le plus de points possibles sans que 3 points alignés.
Les élèves produisent les premières grilles et vérifient les alignements avec la règle ou le fil de laine.


Séance 3

A l’issue de la recherche individuelle, il se dégage deux familles de grilles :
les grilles non valides qui comportent 3 points (ou plus) alignés.
– les grilles valides qui ne comportent pas 3 points alignés.

Les élèves ont vérifié les grilles de leurs camarades de manière individuelle.
Puis, nous faisons la mise en commun pour recueillir les résultats.

Ce sont les élèves qui valident les grilles.

S’ils trouvent 3 points alignés sur une grille, alors ils classent la grille comme non valide.


L’objectif est de déterminer, parmi les grilles valides, celle ou celui qui a placé le plus de points sur sa grille sans aligner 3 points.


Pour le moment, Apoline est la gagnante du concours.

A l’issue de la séance, je leur demande si ils pensent qu’il serait possible de placer plus que 6 points sur la grille sans que 3 points soient alignés ?

La plupart des élèves ne sait pas. Certains disent : «je donne ma langue au chat».

Puis, après la récréation, Antoine cherche encore. Il réussit à placer 7 points sur une grille.

Puis il continue à chercher et finit par placer 8 points. Sa grille est valide.

 

Voici la grille à 8 points
Un élève se corrige tout seul et trouve 4 points alignés avec la ficelle

Mais combien peut-on placer de points au maximum sans en aligner 3 ?
A vous de trouver… !


 

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