Une résolution du problème des billets en maternelle
Ecole de Vallin Fier, Annecy – MS-GS – Béatrice Danjou
« La maman d’Alice veut donner 20 euros à sa fille pour son anniversaire. Elle dispose de 5 billets de 5 euros et 12 pièces de 2 euros. Peut-elle lui donner 20 euros et comment ? »
Pour y répondre, il faut l’adapter aux élèves de maternelle
Ce problème peut être donné à des élèves de PS et de MS en fin d’année et aux élèves de GS en
milieu d’année car avant de pouvoir le résoudre, il faut que les élèves :
– aient construit les premiers nombres,
– aient stabilisé la connaissance des premiers nombres,
– aient compris le principe de l’itération de l’unité,
– aient travaillé la composition, décomposition et recomposition des nombres,
– et, surtout, aient déjà été mis en situation de recherche et commencé la réflexion sur :
« comment trouver toutes les solutions possibles (pour aller vers la preuve) ».
Des aménagements par niveau
PS : Remplacement des billets par des Numicon (les Numicon permettent aux PS de bien
visualiser le nombre). Peut-on faire 6 avec 3 Numicon de 3 et 4 Numicon de 2 ?
MS : Peut-on donner 10 euros avec 3 billets de 5 euros et 7 pièces de 2 euros ?
GS : Le problème est le même que celui proposé par l’IREM.
Une préparation en amont
Travailler l’itération du 1, la composition, décomposition et recomposition du nombre
- Au travers d’activités diverses permettant de travailler la construction du nombre, en utilisant la pochette à compter qui regroupe les diverses représentations du nombre (voir contenu de la pochette à compter en annexe).
- En prenant chaque jour un temps pour faire du subitizing qui « permet de faciliter la construction du système des trois premiers nombres, en concevant le nombre 3 comme résultant de diverses façons de totaliser ses unités » (Rémi Brissiaud ) – d’abord avec des petits nombres, puis avec des nombres jusqu’à 10.
Travailler la construction du nombre, avec un outil pour apprendre de façon ludique : l’espace à scénario
Le concept a été inventé par Mélanie RAMBAUD, enseignante en PS/MS/GS dans la circonscription Strasbourg 6 en Alsace, qui le peaufine depuis 3 ans et dont le livre sur les espaces à scénario sortira au printemps 2022, aux Editions Sésames.
Définition d’un espace à scénario par la conceptrice :
“Je définis le scénario comme une trame de jeu réfléchie pour un espace précis et un domaine ciblé. Le travail est mis en scène dans un cadre motivant pour l’enfant, reprenant une situation de la vie réelle. Comme une pièce de théâtre, il se joue entre deux ou plusieurs acteurs. Le scénario tient compte des programmes de l’Education Nationale et définit les compétences travaillées.”
Premier espace à scénario
L’atelier des lutins 1
C’est un atelier où les élèves vont devoir passer une commande pour réaliser un sapin en tissu.
Pour la réaliser, ils doivent commander le nombre d’objets définis dans la liste de commande en collant des Numicon qui les aideront à visualiser le nombre et ses décompositions possibles.
L’atelier des lutins 2
Les élèves commandent des rubans parmi deux choix possibles. Ils doivent choisir un nombre de rubans et le décomposer en deux parties à l’aide des Numicons
Second espace – Première séance
L’atelier du bijoutier 1
Il s’agit de passer une commande de bijoux pour orner sa couronne de roi. Le travail se fait sur l’ordinalité pour le placement des bijoux.
L’atelier du bijoutier 2
Les élèves doivent payer leur couronne au bijoutier. Nous utilisons le problème de l’IREM pour trouver comment payer.
L’atelier a été fait avec un groupe de six GS.
Les élèves avaient dans leur pochette porte-monnaie, les 5 billets de 5 euros et les 12 pièces de 2 euros, deux plaques de Numicon 10 pour se rappeler le nombre 20 – qui n’a pas été forcément travaillé en temps que tel, mais que nous voyons régulièrement lors de l’appel avec le système des tours d’appel.
Difficultés
– une élève a eu du mal à voir qu’UNE pièce de 2€ = 2, idem pour UN billet de 5€ = 5
– il a fallu revoir le nombre 2 = 1 et encore 1
– et le nombre 10 = 5 et encore 5
– j’ai proposé de prendre les Numicon 2 et 5 pour aider à la visualisation. L’élève n’a pas eu besoin de repasser par les pions. Elle a, ainsi, pu mieux comprendre.
⇒ On retrouve la difficulté à distinguer la valeur et la quantité.
Procédures
Pour être sûr d’avoir 20€
– énumérer en passant par le comptage des trous des Numicon pour vérifier qu’il y a bien 20 en tout pour deux enfants.
– compter de 2 en 2, jusqu’à 20.
– compter en positionnant les pièces de 2€ à cheval sur deux emplacements du Numicon 10.
– compter en tapant deux fois sur chaque pièces de 2€ pour arriver jusqu’à 20.
– compter en reprenant « 5 et 5, ça fait 10, il me faut 2 fois le 10, alors je reprends encore un 10 ».
– faire le nombre 10 uniquement avec des billets de 5€ ou uniquement avec des pièces de 2€
– choisir de faire le nombre 10 avec des billets de 5€ et l’autre nombre 10 avec des pièces de 2€ pour arriver à 20€, puisque 10 et encore 10, ça fait 20.
– trouver des façons d’organiser différemment dans l’espace : 4 billets de 5€ et 5 pièces de 2€.
Difficulté
La construction du 10 est acquise par tous. Le nombre 20 est visuellement compris avec les Numicon mais lors de la vérification, 3 élèves sont passés de 10 et encore 10 = 11. Ce qui est normal puisque nous n’avons pas encore travaillé les nombres au dessus de 10.
Laisser la trace de sa solution par écrit
Questionnement :
– certains élèves se sont posés la question de dessiner ou pas le Numicon en plus de leur solution.
– un élève est allé directement à l’écriture des chiffres 5 dans un seul cadre (5 5 5 5). La solution était lisible pour lui mais pas pour les autres qui avaient besoin de savoir si c’était 5 fois des pièces de 2€ ou si c’était le 4 fois des billets de 5€.
Seconde séance
On reprend les solutions écrites par chacun et on observe que les solutions ne sont pas les mêmes.
Questionnement : Comment est-ce possible ?
– je reformule le problème : peut-on faire 20€ dans son porte-monnaie et comment ?
– discussion avec les élèves sur ce que cela sous-entend : il faut trouver toutes les façons de faire 20€ avec les pièces et billets du porte-monnaie.
Recherche active des élèves
Séance très intéressante car les élèves ont vraiment cherché à avoir d’autres solutions possibles.
Une élève a cherché plusieurs combinaisons possibles et a demandé si on pouvait changer une pièce de 2€ avec des pièces de 1 €.
Un autre élève n’est pas du tout passé par la manipulation. Il a commencé à écrire les solutions
directement sur sa feuille.
Les élèves ont écrit les toutes autres solutions trouvées sur la même feuille.
Troisième séance
Il est prévu de reprendre toutes les solutions trouvées en manipulant les billets et les pièces et en les laissant sur la table comme référence.
Puis de vérifier si on a toutes les solutions possibles => la preuve en manipulant à nouveau ou pas.
Ensuite, de trouver une stratégie lisible (comment écrire les solutions) par tous pour la lecture des solutions trouvées.
Quatrième séance
Il faudra choisir une façon de payer 20€ et d’aller chez le bijoutier pour payer la couronne. L’espace à scénario Atelier du bijoutier, va donc évoluer avec une caisse et de la monnaie
Prolongement
Poser le problème à une classe de CP ou une classe de CM pour voir si nous trouvons les mêmes
solutions.
Compte-rendu rédigé par Béatrice DANJOU – Ecole Vallin Fier – RMC Annecy Ouest
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OpenEdition vous propose de citer ce billet de la manière suivante :
egonsolin (24 mars 2022). Une résolution du problème des billets en maternelle. LE BLOG DU RÉSEAU DES LéA-IFÉ. Consulté le 9 octobre 2024 à l’adresse https://doi.org/10.58079/tn8m
